Bir işlemi seçmeden önce verilenleri, bilinmeyeni ve kısıtları yaz. Kendi çözümünü denedikten sonra ipucu ve açıklamayı aç; sonucun bütün koşulları sağladığını kontrol et.
Sayıların birimini, tam sayı koşulunu ve izin verilmeyen durumları belirt. Tablodaki toplamı ve başarı sayısını ayır.
En küçük veya en büyük değer istendiğinde yalnız bir örnek bulmakla yetinme; daha iyi bir sonucun neden mümkün olmadığını da göster.
Bulduğun sonucu başlangıç koşullarına geri koy. Sayma ve olasılıkta eksik veya iki kez sayılmış durumları denetle.
Yanıtından sonra gerekçeyi karşılaştır. Hesabınla verdiğin yanıtları Kişisel Rotam üzerinden tekrar çalışabilirsin.
24 özgün sayısal taslak · Açıklamalı çözümler
Önce kendi çözümünü yaz; ardından yanıt ve gerekçeyi aç.
1 · Çizelgeleme ve en küçük tamamlanma süresi · Zor
Süreleri sırasıyla 9, 8, 7, 6 ve 4 dakika olan beş iş, aynı anda kullanıma hazır iki özdeş cihazda yapılacaktır. Her iş tek bir cihazda, bölünmeden tamamlanacak; bir cihaz aynı anda yalnız bir iş yapacaktır. Hazırlık ve geçiş süresi yoktur. 9 dakikalık iş ile 8 dakikalık iş aynı cihazda yapılamaz. Bütün işler en erken kaç dakikada tamamlanabilir?
22
18
19
21
20
İpucunu gör
Önce toplam süreden alt sınır bul; bu sınırın yasak ikiliyle çelişip çelişmediğini denetle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 18
Toplam iş süresi 34 dakikadır; iki cihaz için ilk alt sınır 17 dakikadır. 17 dakikalık bir iş grubu yalnız 9 + 8 veya bunun tamamlayıcısı 7 + 6 + 4 ile oluşur. Bu bölüşüm 9 ve 8 dakikalık işleri aynı cihaza koyacağı için yasaktır. Dolayısıyla 17 dakika olanaksızdır. Bir cihaza 9 + 7 = 16, diğerine 8 + 6 + 4 = 18 dakika iş verilirse koşullar sağlanır. Süreler tam sayı olduğundan 17'den sonraki ilk olası süre olan 18 elde edilmiştir; en küçük değer 18'dir.
2 · Ardışık karışım işlemleri · Orta
Bir depoda her litresinde 300 gram çözünmüş madde bulunan, hacmi V litre olan homojen bir çözelti vardır. V > 20'dir. Çözeltiden 20 litre alınıp yerine 20 litre saf su ekleniyor ve iyice karıştırılıyor. Aynı işlem bir kez daha yapılıyor. Son çözeltinin her litresinde 192 gram çözünmüş madde bulunduğuna göre V kaçtır? Hacimlerin toplandığı; buharlaşma, çökelme veya başka madde kaybı olmadığı kabul edilecektir.
80
125
120
100
160
İpucunu gör
İkinci boşaltmada ilk derişimi değil, karıştırma sonrası derişimi kullan.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 100
Her boşaltmada depodaki çözünmüş maddenin 20/V kadarı gider, 1 − 20/V kadarı kalır. Eklenen saf su hacmi tekrar V'ye getirir. İki işlem sonunda derişim 300(1 − 20/V)² olur. 300(1 − 20/V)² = 192 eşitliğinden (1 − 20/V)² = 0,64 bulunur. V > 20 olduğundan parantez pozitiftir; 1 − 20/V = 0,8 ve V = 100. Kontrol: 300 → 240 → 192 gram/litre.
3 · Ağırlıklı ortalama ve kayıt düzeltme · Orta
Bir sınavın kaydedilmiş sonuçlarında A grubunun puan ortalaması 70, B grubununki 86 ve iki grubun birlikte ortalaması 80'dir. B grubunda A grubundan 8 kişi fazla vardır. Daha sonra A grubundaki bir kişinin 52 olan puanının yanlışlıkla 72 kaydedildiği anlaşılıyor. Başka hiçbir kayıt değişmediğine göre iki grubun düzeltilmiş ortak puan ortalaması kaçtır?
79,375
79
78,75
79,5
80,625
İpucunu gör
Önce grup büyüklüklerini raporlanan ortalamalardan bul; puan düzeltmesini toplam kişi sayısına böl.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 79,375
A grubunda n, B grubunda n + 8 kişi olsun. Kaydedilmiş toplam puan için 70n + 86(n + 8) = 80(2n + 8) yazılır. 156n + 688 = 160n + 640 olduğundan n = 12; toplam kişi sayısı 32'dir. Yanlış kayıt toplamı 72 − 52 = 20 puan artırmıştır. Düzeltme ortalamayı 20/32 = 0,625 azaltır. Yeni ortak ortalama 80 − 0,625 = 79,375'tir.
4 · Kalan koşulları ve en küçük sayı · Zor
Dört basamaklı bir doğal sayı 7 ile bölündüğünde 3, 9 ile bölündüğünde 5 kalanını vermektedir. Aynı sayı 5 ile tam bölünebildiğine göre bu koşulları sağlayan en küçük sayı kaçtır?
1115
1085
1130
1055
1175
İpucunu gör
Önce 5'e bölünebilme koşulunu yaz; diğer iki kalanı sırayla uygula.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 1130
Sayı 5k olsun. 5k'nin 7 ile bölümünden kalan 3 ise k = 7t + 2 yazılabilir; sayı 35t + 10 olur. Bunun 9 ile bölümünde 35t + 10 ≡ 8t + 1 ≡ 5 olduğundan t ≡ 5 (mod 9) bulunur. t = 9s + 5 yazılırsa bütün çözümler 315s + 185 biçimindedir. s = 2 için 815 üç basamaklı, s = 3 için 1130 dört basamaklıdır. Çözümler 315 arayla arttığından en küçüğü 1130'dur. Kontrol: 1130 = 7·161 + 3 = 9·125 + 5 ve 5·226.
5 · EBOB-EKOK ve tam sayı kısıtları · Zor
a ve b pozitif tam sayıları için a < b, EBOB(a, b) = 6, EKOK(a, b) = 180 ve a + b < 100 koşulları sağlanmaktadır. Buna göre b − a en çok kaç olabilir?
36
18
30
6
42
İpucunu gör
EBOB'u ortak çarpan olarak ayır; bütün uygun çarpan çiftlerine toplam sınırını uygula.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 42
a = 6x, b = 6y yazılırsa x ve y aralarında asal, xy = 180/6 = 30 olur. x < y koşulundaki aralarında asal çarpan çiftleri (1,30), (2,15), (3,10), (5,6)'dır. Bunların a + b değerleri sırasıyla 186, 102, 78 ve 66'dır. İlk ikisi 100'den küçük değildir. Kalan çiftlerin b − a değerleri 6(10 − 3) = 42 ve 6(6 − 5) = 6 olduğundan en büyük fark 42'dir.
6 · Üslü ifadelerde kalan döngüsü · Orta
7⁴¹ + 3²² + 2¹⁰ sayısının 100 ile bölümünden kalan kaçtır?
60
40
84
48
42
İpucunu gör
Her terimin son iki basamağını ayrı bul; sonra bu kalanları topla.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 40
7⁴ = 2401 olduğundan 7'nin kuvvetlerinde son iki basamak dört adımda tekrar eder; 7⁴¹ ≡ 7 (mod 100). 3¹⁰ ≡ 49 ve 3²⁰ ≡ 49² ≡ 1 olduğundan 3²² ≡ 9 (mod 100). Ayrıca 2¹⁰ = 1024 ≡ 24. Kalanların toplamı 7 + 9 + 24 = 40'tır. Üsleri doğrudan toplamak veya yalnız birler basamağına bakmak 100 ile bölümün kalanını belirlemez.
7 · Basamak kısıtlarıyla sayma · Orta
Rakamları 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 arasından seçilen, rakamları birbirinden farklı dört basamaklı sayılar oluşturuluyor. Sayı 5 ile tam bölünecek ve binler basamağı ile yüzler basamağındaki rakamların toplamı 7 olacaktır. Bu koşulları sağlayan kaç farklı sayı vardır?
30
24
18
12
20
İpucunu gör
Birler basamağını 0 ve 5 diye iki duruma ayır; her durumda tekrar yasağını yeniden uygula.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 18
Birler basamağı 0 veya 5'tir. İlk iki basamağın sıralı olası çiftleri (2,5), (3,4), (4,3), (5,2)'dir. Son basamak 0 ise dört çiftin her biri kullanılabilir; onlar basamağına geriye kalan üç rakamdan biri gelir: 4·3 = 12. Son basamak 5 ise ilk iki basamakta 5 olamaz; yalnız (3,4) ve (4,3) kalır. Onlar basamağına 0, 1 veya 2 gelebilir: 2·3 = 6. İki durum ayrık olduğundan toplam 12 + 6 = 18'dir.
8 · Koşullu olasılık ve sıralı seçim · Zor
Bir torbada birbirinden ayırt edilebilir 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top vardır. Toplar aynı boyut ve ağırlıktadır. Torbadan geri koymadan art arda iki top rastgele çekiliyor; her adımda kalan topların her biri eşit olasılıkla seçiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre ikinci çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır?
2/13
4/13
2/9
1/8
1/9
İpucunu gör
Paydada tüm çekilişleri değil, en az bir kırmızı içeren sıralı çekilişleri say.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 2/13
Eş olasılıklı sıralı çekilişlerin sayısı 9·8 = 72'dir. Hiç kırmızı içermeyen sıralı çekilişler 5·4 = 20 olduğundan verilen koşulu sağlayan 52 çekiliş vardır. İkinci top yeşilken en az bir topun kırmızı olması için ilk top mutlaka kırmızıdır. Bu durum 4·2 = 8 biçimde gerçekleşir. Koşullu olasılık 8/52 = 2/13'tür. Burada 'en az bir kırmızı' bilgisi örnek uzayı değiştirdiği için doğrudan 2/9 kullanılamaz.
9 · Kademeli tarifelerde karşılaştırma · Zor
Aynı gün yapılacak n adet baskı için iki tarife vardır. A tarifesinde 30 TL sabit ücretin yanında ilk 20 baskının her biri 4 TL, sonraki her baskı 2 TL'dir. B tarifesinde sabit ücret yoktur; ilk 10 baskının her biri 5 TL, sonraki her baskı 3 TL'dir. n pozitif tam sayı olduğuna göre A tarifesinin B tarifesinden en az 10 TL daha ucuz olduğu en küçük n kaçtır?
40
70
60
55
50
İpucunu gör
Tarifelerin kırıldığı 10 ve 20 baskı eşiklerini ayrı incele; son aralıkta eşitsizlik kur.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 60
n ≤ 10 için A − B = 30 − n olduğundan A daha ucuz değildir. 10 < n ≤ 20 için B = 50 + 3(n − 10) = 3n + 20, A = 30 + 4n; fark n + 10 yine pozitiftir. n > 20 için A = 30 + 80 + 2(n − 20) = 2n + 70, B = 3n + 20 olur. A'nın en az 10 TL daha ucuz olması 2n + 70 ≤ 3n + 20 − 10, yani n ≥ 60 koşuludur. 60 baskıda A 190 TL, B 200 TL'dir; 59 baskıda fark yalnız 9 TL olur.
10 · Kesilmiş şekillerde çevre ve alan · Zor
Bir dikdörtgenin köşesinden, iki kenarı dikdörtgenin kenarları üzerinde bulunan 5 cm kenarlı bir kare kesilip çıkarılıyor. Dikdörtgenin iki kenarı da 5 cm'den uzundur. Kalan L biçimindeki parçanın çevresi 70 cm, alanı 275 cm² olduğuna göre başlangıçtaki dikdörtgenin köşegeni kaç santimetredir?
20
24
21
23
25
İpucunu gör
Kesilen köşede çevrenin neden değişmediğini belirle; köşegen için kenarları ayrı ayrı bulmak zorunda değilsin.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 25
Köşedeki kare kesilince dış çevreden iki tane 5 cm'lik parça gider, içte iki tane 5 cm'lik yeni kenar oluşur; çevre değişmez. Dikdörtgenin kenarları x ve y ise x + y = 35'tir. Çıkarılan kare 25 cm² olduğundan başlangıç alanı xy = 275 + 25 = 300'dür. Köşegenin karesi x² + y² = (x + y)² − 2xy = 35² − 600 = 625 olur. Köşegen 25 cm'dir. Kenarlar 15 ve 20 cm olarak da kontrol edilebilir.
11 · Engelli kafes yollarda sayma · Zor
Koordinat düzleminde (0, 0) noktasından (5, 4) noktasına gidilecektir. Her adımda yalnız 1 birim sağa veya 1 birim yukarı hareket edilebilir. (2, 2) ve (3, 2) noktalarından geçmek yasaktır; başka yasak nokta yoktur. Buna göre kaç farklı yol izlenebilir?
60
48
54
42
66
İpucunu gör
İki yasak noktadan da geçen yolların iki kez çıkarılmasını önlemek için ortak durumu ekle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 42
Yasaksız toplam yol sayısı 9 adımda 4 yukarı adımın yerini seçmekten C(9,4) = 126'dır. (2,2)'den geçenler C(4,2)·C(5,2) = 60; (3,2)'den geçenler C(5,2)·C(4,2) = 60'tır. Her iki noktadan geçenler, bu iki nokta arasında tek sağ adımı bulunduğundan C(4,2)·1·C(4,2) = 36'dır. Bu yollar iki kez çıkarıldığı için bir kez geri eklenir. İstenen sayı 126 − 60 − 60 + 36 = 42'dir.
12 · Yaş ilişkilerinde denklem sistemi · Orta
İki kardeşten büyük olanı, küçüğünden 4 yaş büyüktür. Annelerinin bugünkü yaşı, iki kardeşin bugünkü yaşları toplamının 2 katıdır. Altı yıl önce annenin yaşı, büyük kardeşin o zamanki yaşının 5 katıydı. Bütün yaşlar tamamlanmış yıl cinsinden tam sayılarla ele alındığına göre anne bugün kaç yaşındadır?
60
56
48
64
68
İpucunu gör
Altı yıl önceki ilişkide hem annenin hem büyük kardeşin yaşından 6 çıkar.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 56
Büyük kardeşin bugünkü yaşı x ise küçüğün yaşı x − 4, anneninki 2(x + x − 4) = 4x − 8'dir. Altı yıl önceki ilişki (4x − 8) − 6 = 5(x − 6) olur. 4x − 14 = 5x − 30 eşitliğinden x = 16 bulunur. Küçük kardeş 12, anne 56 yaşındadır. Kontrol: 2(16 + 12) = 56 ve altı yıl önce 50 = 5·10.
13 · Bağıl hareket ve denklem sistemi · Zor
Sabit hızla yukarı çalışan aynı yürüyen merdivende iki ayrı çıkış denemesi yapılıyor. Birinci denemede kişi merdivene göre saniyede 1 basamak ilerleyerek 40 adımda, ikinci denemede saniyede 2 basamak ilerleyerek 60 adımda alt başlangıç noktasından üst bitiş noktasına ulaşıyor. Her adım tam bir basamak uzunluğundadır. İki denemede de merdivenin hızı aynıdır; giriş ve çıkış anları ideal kabul edilecektir. Merdiven duruyor olsaydı bu iki nokta arasında kaç basamak bulunurdu?
140
160
80
100
120
İpucunu gör
Adım sayısını kişinin kendi adım hızına bölerek süreyi bul; merdivenin o sürede taşıdığı yolu ekle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 120
Merdivenin saniyedeki hareketi v basamak, sabit iki nokta arasındaki uzunluk N basamak olsun. Birinci çıkış 40/1 = 40 saniye sürer; toplam yol N = 40 + 40v'dir. İkinci çıkış 60/2 = 30 saniye sürer; N = 60 + 30v olur. Eşitleyince 10v = 20 ve v = 2 bulunur. N = 40 + 80 = 120 basamaktır. İkinci deneme için de (2 + 2)·30 = 120 elde edilir.
14 · Tam sayılı kaynak optimizasyonu · Zor
Bir atölyede A ve B ürünleri üretilecektir. Bir A ürünü 2 saat işçilik ve 1 kg ham madde; bir B ürünü 1 saat işçilik ve 3 kg ham madde gerektirir. A'nın kazancı 7, B'nin kazancı 8 birimdir. Toplam en fazla 20 saat işçilik ve 24 kg ham madde kullanılabilir. Ürünler yalnız tam adet üretilir; kullanılmayan kaynak kalabilir ve başka maliyet yoktur. Elde edilebilecek en büyük toplam kazanç kaç birimdir?
94
89
84
90
88
İpucunu gör
B adedini 0'dan 8'e kadar sınırla; her durumda kaç tam A ürünü üretilebildiğini bul.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 90
A adedi a, B adedi b ise 2a + b ≤ 20 ve a + 3b ≤ 24'tür. b en fazla 8 olabilir. Her sabit b için A kazancı pozitif olduğundan izin verilen en büyük a seçilir: a = min(⌊(20 − b)/2⌋, 24 − 3b). b = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 için en iyi kazançlar sırasıyla 70,71,79,80,88,89,90,77,64'tür. En büyük değer a = 6, b = 6 için 90'dır. Bu üretim 18 saat ve 24 kg kullanır. Yalnız kaynak sınırlarının kesişimini kesirli adetlerle çözmek yeterli değildir.
15 · Üç kümede çoklu üyelik · Orta
120 kişilik bir toplulukta A atölyesine 70, B atölyesine 65 ve C atölyesine 50 kişi kayıtlıdır. Bir kişi birden fazla atölyeye kayıtlı olabilir. 10 kişi hiçbir atölyeye kayıtlı değildir; tam olarak bir atölyeye kayıtlı olanların sayısı 55'tir. Üç atölyenin tümüne birden kayıtlı kaç kişi vardır?
15
18
20
12
10
İpucunu gör
Kişi sayısı ile üyelik sayısını ayrı denklemlerle say.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 20
En az bir atölyeye kayıtlı 120 − 10 = 110 kişi vardır. Tam iki atölyeye kayıtlı kişi sayısı x, üçüne kayıtlı kişi sayısı y olsun. Kişi sayısından 55 + x + y = 110, yani x + y = 55 bulunur. Üyelikleri atölye atölye toplarsak bir kişi bir, iki veya üç kez sayılır: 55 + 2x + 3y = 70 + 65 + 50 = 185. Buradan 2x + 3y = 130 olur. İlk eşitliğin iki katını çıkarınca y = 20 bulunur; ayrıca x = 35'tir.
16 · Tabloda ağırlıklı başarı oranı · Orta
Tabloda X ve Y yöntemlerinin iki tür denemedeki başarılı deneme ve toplam deneme sayıları verilmiştir. X için sonradan yapılan her yeni denemenin zor türde ve başarılı olduğu; Y için hiç yeni deneme yapılmadığı biliniyor. X'in bütün denemeler birlikte hesaplanan başarı oranının, Y'nin bütün denemelerdeki başarı oranına en az eşit olması için X'e en az kaç yeni başarılı deneme eklenmelidir?
Kurgusal deneme sayıları; her hücre başarılı / toplam biçimindedir
Yöntem
Kolay denemeler
Zor denemeler
X
18 / 20
24 / 40
Y
40 / 50
5 / 10
12
20
18
24
15
İpucunu gör
Her yöntemin önce toplam başarılı/ toplam deneme oranını hesapla; yeni denemeleri hem paya hem paydaya ekle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 12
X'in toplam başarısı 18 + 24 = 42, toplam denemesi 20 + 40 = 60'tır. Y için bu sayılar 40 + 5 = 45 ve 50 + 10 = 60 olduğundan hedef oran 45/60 = 3/4'tür. n başarılı yeni denemeden sonra X'in oranı (42 + n)/(60 + n) olur. (42 + n)/(60 + n) ≥ 3/4 eşitsizliği 168 + 4n ≥ 180 + 3n, yani n ≥ 12 verir. n = 12 için 54/72 = 3/4; 11 için 53/71 < 3/4. Türlerdeki yüzdelerin basit ortalaması alınmaz; deneme sayıları farklıdır.
17 · Değişen farklarla tanımlanan dizinin toplamı · Zor
Bir dizinin ilk terimi a₁ = 4'tür. n ≥ 2 için her terim aₙ = aₙ₋₁ + 3n − 2 kuralıyla tanımlanıyor. Buna göre dizinin ilk 20 teriminin toplamı kaçtır?
4460
4260
4560
4360
4160
İpucunu gör
Önce n'inci terimi artışların toplamından elde et; sonra ilk 20 terimi topla.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 4260
aₙ = 4 + Σ(k=2…n)(3k − 2) yazılır. Toplam açıldığında aₙ = (3n² − n + 6)/2 bulunur; n = 1 için de 4 verir. İlk 20 terim toplamı [3Σn² − Σn + 6·20]/2'dir. Σ(n=1…20)n = 210 ve Σ(n=1…20)n² = 20·21·41/6 = 2870 olduğundan sonuç (3·2870 − 210 + 120)/2 = 4260'tır. İlk birkaç terim 4, 8, 15, 25'tir; farklar sabit olmadığı için aritmetik dizi toplamı doğrudan uygulanamaz.
18 · Parametreli işlem ve iç içe uygulama · Orta
Gerçek x ve y sayıları için x ◇ y = px + qy + xy işlemi tanımlanıyor; p ve q sabit gerçek sayılardır. 1 ◇ 2 = 13 ve 2 ◇ 1 = 12 olduğuna göre (2 ◇ 3) ◇ 1 kaçtır?
96
100
104
80
120
İpucunu gör
İki verilen sonuçtan p ve q'yu bul; dış işleme parantez içinin sonucunu birinci girdi olarak koy.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 100
Verilen işlemler p + 2q + 2 = 13 ve 2p + q + 2 = 12 denklemlerini verir. Yani p + 2q = 11, 2p + q = 10; çözüm p = 3, q = 4'tür. Önce parantez içi hesaplanır: 2 ◇ 3 = 3·2 + 4·3 + 2·3 = 24. Ardından 24 ◇ 1 = 3·24 + 4·1 + 24·1 = 100 bulunur. İşlemde x ve y'nin yerleri kendiliğinden değiştirilemez.
19 · Mutlak değer eşitsizliği ve tam sayılar · Zor
x bir tam sayı olmak üzere |2x − 5| + |x + 1| ≤ 12 eşitsizliğini sağlayan bütün x değerlerinin kareleri toplamı kaçtır?
44
56
60
52
70
İpucunu gör
İki mutlak değerin işaret değiştirdiği noktaları ayır; uygun tam sayıları bulduktan sonra karelerini topla.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 60
İşaret değişim noktaları −1 ve 5/2'dir. x ≤ −1 iken ifade 4 − 3x olur ve x ≥ −8/3 gerekir. −1 ≤ x ≤ 5/2 iken ifade 6 − x'tir; bu aralık bütünüyle uygundur. x ≥ 5/2 iken ifade 3x − 4 olur ve x ≤ 16/3 gerekir. Bu nedenle uygun tam sayılar −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir. Kareler toplamı 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 60'tır. x = −3 ve x = 6 sınır dışındadır.
20 · Çokgen köşegenleri ve seçim sayısı · Orta
Hiçbir üç köşesi aynı doğru üzerinde olmayan dışbükey bir çokgende köşegen sayısı, kenar sayısının 5 katından 7 fazladır. Bu çokgenin belirlenmiş bir A köşesini içeren ve köşeleri çokgenin köşelerinden seçilen kaç farklı üçgen vardır?
66
55
70
78
77
İpucunu gör
Önce köşegen bağıntısından köşe sayısını bul; A sabitken yalnız kalan iki köşeyi seç.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 78
Kenar sayısı n ise köşegen sayısı n(n − 3)/2'dir. n(n − 3)/2 = 5n + 7 eşitliği n² − 13n − 14 = (n − 14)(n + 1) = 0 verir. n ≥ 3 olduğundan n = 14'tür. A köşesi sabittir; diğer 13 köşeden iki tanesini seçmek gerekir. Hiç üç köşe doğrusal olmadığından her seçim bir üçgen oluşturur: C(13,2) = 13·12/2 = 78.
21 · Medyan ve açıklıkla tam sayı listeleri · Zor
Birbirinden farklı beş pozitif tam sayı a < b < c < d < e biçiminde sıralanmıştır. Bu sayıların aritmetik ortalaması 7, medyanı 6 ve açıklığı (en büyük ile en küçük arasındaki fark) 10'dur. Bu koşulları sağlayan kaç farklı (a, b, c, d, e) beşlisi vardır?
7
8
5
4
6
İpucunu gör
Medyanı ve en büyük sayıyı yerine yazarak toplam denklemindeki bilinmeyen sayısını azalt.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 4
Medyan c = 6, toplam 35 ve e = a + 10'dur. Böylece 2a + b + d = 19 elde edilir. a < b < 6 olduğundan a yalnız 1, 2, 3 veya 4 olabilir. a = 1 için d = 17 − b ≥ 12 iken e = 11 olduğundan olanaksızdır. a = 2 için (b,d) = (4,11), (5,10); a = 3 için (b,d) = (4,9), (5,8) uygundur. a = 4 için tek b = 5 seçeneği d = 6 verir ve c < d koşulunu bozduğu için elenir. Beşliler (2,4,6,11,12), (2,5,6,10,12), (3,4,6,9,13), (3,5,6,8,13); toplam dört tanedir.
22 · Saatte bağıl açısal hareket · Zor
Doğru çalışan analog bir saatte akrep ve yelkovan sürekli hareket etmektedir. Saat 12.00'dan 13.00'a kadar, akrep ile yelkovan arasındaki küçük açının 90 dereceden büyük olduğu toplam süre kaç dakikadır? Uç anlarının açık veya kapalı alınması süreyi değiştirmez.
360/11
30
40
35
420/11
İpucunu gör
İki kolun açısal hızlarının farkını kullan; küçük açının koşulunu göreli açı için bir aralığa dönüştür.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 360/11
Yelkovan dakikada 6°, akrep dakikada 0,5° ilerler. 12.00'dan t dakika sonra yelkovanın akrebe göre açısı 5,5t derecedir; bir saat içinde 0°'den 330°'ye çıkar. Küçük açının 90°'den büyük olması için bu göreli açı 90° ile 270° arasında olmalıdır. Başlangıç t = 90/5,5 = 180/11, bitiş t = 270/5,5 = 540/11 dakikadır; ikisi de ilk saat içindedir. Toplam süre (540 − 180)/11 = 360/11 dakikadır. Yalnız yelkovanı hareketli saymak akrebin ilerlemesini ihmal eder.
23 · Puanlama ve maç sonuçları · Orta
Bir turnuvada galibiyete 3, beraberliğe 1, mağlubiyete 0 puan veriliyor. Bir takım ilk 12 maçında 24 puan toplamıştır ve bu maçlardaki beraberlik sayısı mağlubiyet sayısından 1 fazladır. Takım sonraki 3 maçın sonunda toplam puanını tam 30'a çıkardığına göre 15 maçtaki toplam galibiyet sayısı kaçtır? Başka puan ekleme veya silme işlemi yoktur.
9
11
7
10
8
İpucunu gör
İlk 12 maçın üç sonuç sayısını çöz; son üç maçtaki 6 puanın hangi sonuçlarla oluşabileceğini ayrıca denetle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 9
İlk 12 maçta mağlubiyet l ise beraberlik l + 1, galibiyet 11 − 2l olur. Puan denklemi 3(11 − 2l) + (l + 1) = 24, yani 34 − 5l = 24'tür. l = 2, beraberlik 3 ve galibiyet 7 bulunur. Sonraki üç maçta 6 puan gerekir. Bir galibiyet en fazla iki beraberlikle 5 puan verir; üç galibiyet 9 puandır. Yalnız iki galibiyet ve bir mağlubiyet 6 puan verir. Toplam galibiyet 7 + 2 = 9'dur.
24 · Ağda kısıtlı en kısa yol · Zor
P, Q, R, S ve T noktaları arasındaki çift yönlü yollar ve uzunlukları tabloda verilmiştir. Tabloda bulunmayan noktalar arasında doğrudan yol yoktur. Q–R yolu geçici olarak kapalıdır; diğer yollar açıktır. P'den başlayıp T'de bitecek bir yolculuk R'ye uğrayacak ve her noktaya en fazla bir kez gidilecektir. En kısa uygun yolun uzunluğu kaç kilometredir?
Çift yönlü yol uzunlukları
Yol
Uzunluk (km) / durum
P–Q
5
P–R
9
P–T
20
Q–R
2 — kapalı
Q–S
7
R–S
3
R–T
10
S–T
4
13
12
15
19
16
İpucunu gör
Kapalı kenarı çıkar; R'ye ulaşma yollarını ve geriye kalan geçerli R–T yollarını birlikte değerlendir.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 16
Q–R kapalı olduğu için bu kenar kullanılamaz. R'ye P'den doğrudan gitmek 9 km, P–Q–S–R üzerinden gitmek 5 + 7 + 3 = 15 km'dir. Doğrudan R'ye ulaşıldığında T'ye R–T ile 10 km veya R–S–T ile 3 + 4 = 7 km'de gidilebilir; en iyi toplam 9 + 7 = 16'dır. P–Q–S–R yolu seçilirse S yeniden ziyaret edilemeyeceği için R'den T'ye doğrudan gidilir ve toplam 25 olur. P–T yolu R'ye uğramaz. Dolayısıyla P–R–S–T, 16 km ile en kısa uygun yoldur.