WEBVTT

NOTE Bölüm sınırları gerçek ses sürelerinden ölçülür; bölüm içi altyazı zamanları yaklaşık eşlemedir.

1
00:00:00.000 --> 00:00:08.519
EG Campus. Fonksiyonlar: girdi, görüntü, bileşke ve ters. Bu kayıt, mevcut kaynaklı bölüm metninin bilgisayarın Türkçe sentetik sesiyle

2
00:00:08.519 --> 00:00:17.038
okunmasıdır. İnsan konuşmacı kaydı değildir. Çalışma hedefleri. Bu bölümde Bir bağıntının fonksiyon olmasını, her girdiye tam bir görüntü

3
00:00:17.038 --> 00:00:25.557
atanması üzerinden gerekçelendirir.. Karekök ve payda kısıtlarını birlikte kullanarak gerçek tanım kümesini bulur.. Bileşke ve ters fonksiyon sorularında

4
00:00:25.557 --> 00:00:34.077
işlem sırasını, bire birlik ve örtenlik koşullarını denetler.. Parçalı, tek ve doğrusal fonksiyonları kullanarak bir modeli kurar; sonucu

5
00:00:34.077 --> 00:00:42.596
tanım kümesi ve bağlam ile sınar.

6
00:00:42.596 --> 00:00:50.664
Bu bölümün kapsamı ve çalışma yolu. Bu özgün başlangıç bölümünde fonksiyonu bir kural ezberi olarak değil, girdiler ile

7
00:00:50.664 --> 00:00:58.732
görüntüler arasındaki düzen olarak çalışacağız. Önce kümeleri ve izin verilen girdileri belirleyecek, sonra bileşke ve ters işlemlerine geçeceğiz.

8
00:00:58.732 --> 00:01:06.800
MEB’in arşiv kazanım listesi fonksiyon problemlerini, grafikleri, bire birliği, örtenliği, bileşkeyi ve tersi içerir. Kaynakçada 2026 ÖSYM duyurusu

9
00:01:06.800 --> 00:01:14.868
sınav yılı çerçevesini gösterir; MEB arşivinin yayın yılı belirtilmediği için onu 2026 müfredatı diye adlandırmıyoruz. Bu üç konuluk

10
00:01:14.868 --> 00:01:22.936
paket tam AYT kapsamı veya resmî soru dağılımı değildir. Buradaki otuz soru özgündür; ÖSYM sorusu veya onayı olarak

11
00:01:22.936 --> 00:01:31.004
sunulmaz.

12
00:01:31.004 --> 00:01:38.816
Tanım, değer ve görüntü kümelerini ayır. f: A ; sonra B gösteriminde A tanım kümesi, B değer kümesidir.

13
00:01:38.816 --> 00:01:46.627
Her a ∈ A için B’de tam bir f(a) bulunmalıdır. Bir girdinin iki farklı görüntüsü olması veya hiç

14
00:01:46.627 --> 00:01:54.439
görüntüsü olmaması fonksiyon koşulunu bozar. Farklı girdilerin aynı görüntüye gitmesi ise mümkündür: f(x) = x² kuralında 2 ve

15
00:01:54.439 --> 00:02:02.251
−2 aynı 4 görüntüsünü verir. Görüntü kümesi f(A), gerçekten elde edilen değerlerden oluşur ve B’nin alt kümesidir. Örneğin

16
00:02:02.251 --> 00:02:10.063
gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar tanımlı x² fonksiyonunun görüntü kümesi [0, ∞), değer kümesi gerçek sayılar’dir. Bu

17
00:02:10.063 --> 00:02:17.875
ayrım örtenlik sorularında belirleyicidir.

18
00:02:17.875 --> 00:02:26.081
Cebirsel tanım kümesi: koşulları birlikte uygula. Bir kuralın gerçek sayılarda anlamlı olması için bütün işlemleri kontrol ederiz. Payda

19
00:02:26.081 --> 00:02:34.288
sıfır olamaz; karekök içi negatif olamaz. f(x) = √(9 − x)/(x + 1) için x küçük veya eşit

20
00:02:34.288 --> 00:02:42.494
9 ve x ≠ −1 birlikte gerekir. İzin verilen küme (−∞, −1) ∪ (−1, 9] olur. 9 alınır,

21
00:02:42.494 --> 00:02:50.701
çünkü karekökün sıfır olması yasak değildir. Bir kısıtı bulmak diğerini ortadan kaldırmaz. Soruda daha dar bir tanım kümesi

22
00:02:50.701 --> 00:02:58.907
verilmişse bu kümenin dışına çıkamayız. Cebirsel sadeleştirme de başlangıçta yasak olan bir girdiyi kendiliğinden geri getirmez; tanım bilgisi

23
00:02:58.907 --> 00:03:07.114
işlem boyunca taşınır.

24
00:03:07.114 --> 00:03:14.909
Grafiği ve parçalı kuralı okumak. Grafikte yatay eksen girdiyi, dikey eksen görüntüyü gösterir. Aynı x değerinden geçen dikey

25
00:03:14.909 --> 00:03:22.704
doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa o çizim o tanım kümesinde fonksiyon değildir. Parçalı kurallarda önce girdinin hangi

26
00:03:22.704 --> 00:03:30.500
aralığa ait olduğuna bakılır. f(x) = x + 1, x < 2 için; f(x) = 3x, x büyük

27
00:03:30.500 --> 00:03:38.295
veya eşit 2 için verilmişse f(2) = 6’dır. Eşitliğin bulunduğu dal sınır değerini belirler. f(f(1)) hesaplanırken ilk sonuç

28
00:03:38.295 --> 00:03:46.090
2 olur; dış işlem için artık x büyük veya eşit 2 dalı seçilir ve sonuç 6 çıkar. Her

29
00:03:46.090 --> 00:03:53.885
yeni girdi yeni bir dal kontrolü gerektirir.

30
00:03:53.885 --> 00:04:02.909
Bire birlik ve örtenlik: kural kadar kümeler de önemlidir. Bire birlik, aynı görüntünün iki farklı girdiden gelmemesidir: f(a)

31
00:04:02.909 --> 00:04:11.933
= f(b) ise a = b olmalıdır. Örtenlik, değer kümesinin her elemanının en az bir girdinin görüntüsü olmasıdır;

32
00:04:11.933 --> 00:04:20.957
f(A) = B gerekir. f(x) = x² kuralı gerçek sayılar üzerinde bire bir değildir; [0, ∞) üzerinde bire

33
00:04:20.957 --> 00:04:29.981
birdir. Değer kümesi [0, ∞) seçilirse bu daraltılmış fonksiyon örten de olur. Sonlu kümelerde fonksiyon sayısını görüntü seçimiyle

34
00:04:29.981 --> 00:04:39.005
sayabiliriz. Üç girdiden iki değerli kümeye 2³ fonksiyon vardır. Örtenleri sayarken kullanılmayan görüntüler bırakan iki sabit kural çıkarılır.

35
00:04:39.005 --> 00:04:48.029
Bire bir ile örten aynı özellik değildir.

36
00:04:48.029 --> 00:04:57.109
Bileşke: sağdaki işlemi önce uygula. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ifadesinde x önce f’ye, elde edilen sonuç sonra

37
00:04:57.109 --> 00:05:06.189
g’ye girer. f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x için g(f(x)) = 3x + 6, f(g(x))

38
00:05:06.189 --> 00:05:15.269
= 3x + 2’dir; sıra genellikle değiştirilemez. Cebirsel kuralı yazmanın yanında f(x)’in g’nin tanım kümesinde bulunduğunu kontrol ederiz.

39
00:05:15.269 --> 00:05:24.349
Örneğin g(t) = √t olduğunda g(f(x)) = √(x + 2) yalnız x büyük veya eşit −2 için gerçektir.

40
00:05:24.349 --> 00:05:33.430
Bileşke eşitliği sorusunda iki tarafı ayrı hesaplayıp sonra denklem kurarız. Birkaç girdide eşit sonuç alınması, bileşkelerin her girdide

41
00:05:33.430 --> 00:05:42.510
eşit olduğunu göstermez.

42
00:05:42.510 --> 00:05:51.569
Ters fonksiyon: görüntüden girdiye dönüş. f⁻¹(y), f’nin y görüntüsünü üreten tek girdiyi gösterir; 1/f(y) anlamına gelmez. Tanım ve

43
00:05:51.569 --> 00:06:00.629
değer kümeleri arasında ters bir fonksiyon bulunması için f’nin bire bir ve örten olması gerekir. f(x) = 4x

44
00:06:00.629 --> 00:06:09.689
− 3, gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar için y = 4x − 3 yazıp x = (y

45
00:06:09.689 --> 00:06:18.749
+ 3)/4 çözeriz; f⁻¹(y) = (y + 3)/4. Kontrol f⁻¹(f(x)) = x ile yapılır. Parabolde tek bir ters

46
00:06:18.749 --> 00:06:27.809
için uygun dal seçilir. x² kuralını [0, ∞) ; sonra [0, ∞) olarak alırsak ters √x olur; tüm

47
00:06:27.809 --> 00:06:36.869
gerçeklerde iki işaretli girdi yüzünden ters fonksiyon oluşmaz.

48
00:06:36.869 --> 00:06:45.260
Simetri, yineleme ve gerçek yaşam modeli. Tek fonksiyonda f(−x) = −f(x), çift fonksiyonda f(−x) = f(x) koşulu her

49
00:06:45.260 --> 00:06:53.651
uygun x için sağlanır; tanım kümesi de sıfıra göre simetrik olmalıdır. Bir polinomun tek olması çift kuvvetli terimlerin

50
00:06:53.651 --> 00:07:02.043
ve sabitin sıfırlanmasını gerektirir. Yineleme sorularında verilen f(x + 1) − f(x) farkını istenen adım sayısı kadar kullanırız;

51
00:07:02.043 --> 00:07:10.434
bu koşuldan bütün gerçeklerde doğrusal olma sonucu çıkaramayız. Ücret modellerinde sabit ücret başlangıç değeridir, birim başına ücret eğimdir.

52
00:07:10.434 --> 00:07:18.826
İki planı karşılaştırırken eşitlik ile daha ucuz olma koşulunu ayırır, oturum sayısının tam sayı olduğunu en son değil,

53
00:07:18.826 --> 00:07:27.217
model kurarken kaydederiz.

54
00:07:27.217 --> 00:07:36.206
Gerekçeli örnek 1. f: gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar için f(2x + 1) = 6x − 4

55
00:07:36.206 --> 00:07:45.194
veriliyor. f⁻¹(5) değerini değişken dönüşümüyle bulun ve kontrol edin. t = 2x + 1 seçilirse x = (t

56
00:07:45.194 --> 00:07:54.183
− 1)/2 olur. f(t) = 6(t − 1)/2 − 4 = 3t − 7. Eğimi 3 olduğu için

57
00:07:54.183 --> 00:08:03.172
bu fonksiyon gerçek sayılar üzerinde bire bir ve örtendir. f⁻¹(5) demek f(t) = 5 eşitliğini sağlayan t demektir.

58
00:08:03.172 --> 00:08:12.161
3t − 7 = 5, t = 4. Kontrol: f(4) = 12 − 7 = 5. Aynı sonuç

59
00:08:12.161 --> 00:08:21.149
ters kural f⁻¹(y) = (y + 7)/3 üzerinden elde edilir. Burada 1/f(5) hesaplamak ters fonksiyonu bulmaz; o işlem

60
00:08:21.149 --> 00:08:30.138
bir sayının çarpmaya göre tersidir.

61
00:08:30.138 --> 00:08:38.193
Gerekçeli örnek 2. A planı 40 + 5n TL, B planı 100 + 2n TL olsun. n negatif

62
00:08:38.193 --> 00:08:46.248
olmayan tam sayı kullanımdır. Hangi plan hangi kullanım aralığında daha ucuzdur? İki ücreti eşitleyelim: 40 + 5n =

63
00:08:46.248 --> 00:08:54.303
100 + 2n, 3n = 60, n = 20. Fark A − B = 3n − 60’tır. n

64
00:08:54.303 --> 00:09:02.358
< 20 için bu fark negatiftir ve A daha ucuzdur; n = 20 için ikisi 140 TL’dir; n

65
00:09:02.358 --> 00:09:10.413
> 20 için B daha ucuzdur. Tam sayı kullanımda A, 0–19 kullanımlarında; B, 21 ve üzerindeki kullanımlarda avantajlıdır.

66
00:09:10.413 --> 00:09:18.468
20’de biri daha ucuz diye seçilemez. Kontrol noktaları olarak n = 0 ve n = 21 koymak eşitsizliğin

67
00:09:18.468 --> 00:09:26.523
yönünü sınamamıza yardımcı olur.

68
00:09:26.523 --> 00:09:33.140
Yanılgıyı düzelt. Bir fonksiyonun tersini bulmak için yalnız x ile y’nin yerini değiştirmek yeterlidir. Düzeltme: Cebirsel yer değiştirme

69
00:09:33.140 --> 00:09:39.756
aday kuralı verir. Tersin tek değerli olup olmadığını, özgün fonksiyonun bire birliğini, değer kümesini ve yeni tanım kümesini

70
00:09:39.756 --> 00:09:46.373
de kontrol etmek gerekir.